Manual e Ajuda para o add-in Calculus - Funções Financeiras para Mercado de Capitais

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Anterior: 2.2.6. Gráfico de Interpolações – Cubic Spline X Exponencial

Próxima: 2.2.8. Hedge por Modified Duration para Juros

O termo duration será utilizada tanto no gênero masculino como feminino.

A duração ou duration de um título ou bond significa o tempo médio que o detentor do título deve esperar para receber os pagamentos. Um título sem pagamentos intermediários ou cupom tem a duração igual à data de seu vencimento. Já um título com cupom tem uma duração menor.

O duration é também uma medida se sensibilidade às alterações na curva de juros, sendo muito utilizada em cálculos de operações de hedge (ou proteção) de ativos relacionados às taxas de juros.

Existem várias formas de duration, como Macauley (Frederik Macauley), modificada (ajustada) e efetiva. Cada uma destas formas tem um propósito distinto.

Macauley duration ou simplesmente duration de um título equivale à média dos prazos de cada cupom ponderada pelo seu valor presente (VP_i). No caso de uma carteira, o mesmo raciocínio pode ser empregado, bastando entender cada título como um conjunto adicional de pagamentos ou cupons.

Assim, para duração em dias:


onde P_i,dia é o taxa de juros diária para a data d_i(duração em dias) e VF_i é o valor de face do pagamento em questão.

Em termos anualizados para taxas de juros (base 252) e considerando a duração em dias, tem-se:


onde P_i,aa é o taxa de juros diária P_i,dia anualizada para a data d_i, ainda em dias.

O mesmo cálculo pode ser utilizado também para carteiras com contratos futuros de juros, onde cada contrato é representado pelo seu valor de face e pelo seu vencimento.

É útil determinar também a exposição final equivalente a que podem ser resumidas todas as posições de uma carteira. Ou seja, a carteira é substituída por uma única posição equivalente no mesmo duration final. Para o cálculo desta exposição, pode-se utilizar os conceitos de hedge por modified duration - ver seção 2.2.7. Hedge por Modified Duration para Juros.

A convexidade de um carteira vinculada a taxa de juros é importante para se determinar as alterações no valor presente desta carteira face a uma oscilação paralela na curva de juros, mas com amplitude relativamente grande. Isto porque convexidade é a medida do gradiente ou da derivada da duration e indica como a duração varia conforme o tamanho da oscilação na taxa de juros.

A convexidade é mais importante para títulos (ou carteiras) com vários cupons (ou pagamentos) do que títulos com um vencimento apenas.
Para oscilações pequenas toda a variação no valor presente pode ser explicada pela duration apenas.

A convexidade de uma carteira (ou conjunto de pagamentos ou cupons) para a taxa de juros anualizada e duration em dias é dada por:



A variação no valor presente de uma carteira em função de uma oscilação paralela na curva de juros pode ser aproximada pela segunda ordem da série de Taylor:


onde índice ^* representa a modified duration:



O cálculo da duração de uma carteira também pode envolver posições compradas (normalmente com valor de face positivo) ou vendidas (valor de face negativo). Nestes casos, a aplicação simples do conceito de duration não tem muito sentido prático, porque o valor presente das posições aparece no denominador da equação de duration e a proximidade deste valor a 0 torna difícil interpretar os resultados. Alternativamente, as posições opostas podem ser entendidas como uma redução na outra ponta (comprada ou vendida) e, desconsiderando a convexidade, o conceito de hedge por modified duration - ver seção 2.2.7. Hedge por Modified Duration para Juros - pode ser utilizado nos cálculos.

Um detalhe importante é que a presença de posições opostas em uma carteira pode levar a dois tipos de resultados: manutenção do duration e redução do valor de face da posição principal ou manutenção do valor de face e redução do duration da posição principal, onde posição principal (compras ou vendas) é aquela de maior valor para a multiplicação do valor presente pela duração ajustada. Os dois resultados são equivalentes do ponto de vista de risco de oscilações pequenas (convexidade desconsiderada) e paralelas da curva de juros. O resultado sobre duração constante é mais comum.

O cálculo de duration de uma carteira é muito utilizado em carteiras de renda fixa para se condensar todas posições em uma duração apenas e para efetuar o hedge total ou parcial destas carteiras.

Acesso:

• Menu - Inserir | Função | Calculus
• - Barra de ferramentas Padrão | Calculus

Descrição: Retorna a Macauley duration ou duração em dias úteis de uma carteira diretamente a partir da curva de juros e dos ativos ou pagamentos que compõe esta carteira ou portfolio, bem como a convexidade, modified duration e o valor de face e valor presente da exposição total para o duration da carteira.

Aceita posições compradas (valor negativo) ou vendidas (valor positivo) na composição da carteira e retorna, nestes casos, o duration pela utilização de hedge por modified duration para redução da posição principal (maior valor representado pelo valor presente – compras ou vendas - multiplicado pela respectiva duration modificada) com duração constante e com beta – coeficiente de correlação entre as posições de compra e venda - igual a 1.
O cálculo da exposição final também utiliza o conceito de hedge por modified duration.

No caso de posições opostas em carteira, a convexidade e a duração ajustada não são calculadas e a função retorna 0.

Para o cálculo das taxas relativas aos pagamentos da carteira, realiza a interpolação pelo método exponencial. Não são efetuadas extrapolações, sendo as taxas de juros de pagamentos a ocorrerem em períodos posteriores ao último ponto da curva de juros informado igual à taxa deste ponto. Também não há interpolações antes do primeiro vencimento da curva de juros.

Uma mesma curva de juros não pode possuir mais de uma informação para o mesmo ponto no tempo (por exemplo uma informação de futuros de juros e outra de swap’s). Se isto ocorrer, prevalecerá a maior taxa.

O retorno da função é obtido pela forma matricial, sendo necessária, para obter todos os dados de saída, a seleção de 5 células na vertical e a utilização de CTRL + SHIFT + ENTER após a digitação da fórmula.

Chamada: CC.DURATION ( Curva de Juros, Portfolio)

Nota 1: Resultados devem ser extraídos do Excel através da seleção da região para os resultados, colocação da fórmula com a área de saída selecionada e pressionando CTRL+SHIFT+ENTER.

Os pontos da curva de juros informada não precisam estar ordenados no tempo, mas devem estar dispostos em um intervalo com duas colunas apenas. Os pagamentos do portfolio também não precisam estar ordenados no tempo.
Dados de texto ou em branco para a curva de juros bem como para a carteira são ignorados pela função.

O resultado para uma curva de juros informada e uma carteira com n posições é:

• Duration: média ponderada da duração de cada pagamento com valor de face VF. Este valor é arredondado e depende da existência de posições opostas no portfolio.
  • Sem posições opostas:
    
  
  
  Onde P_int é taxa de juros ao ano base 252 interpolada correspondente a um pagamento, considerando P_j e P_j+1 como pontos da curva de juros, D_j e D_j+1 como o número de dias úteis correspondentes a estes pontos e D_i a data deste pagamento, sendo D_i entre D_j e D_j+1:
  
  
  
  • Com posições opostas, utiliza hedge por modified duration com beta igual a 1 e duração constante, sendo o valor presente das posições compradas dado por VP_compra e o valor presente das posições vendidas dado por VP_venda e a duração e duração modificada das compras e das vendas dadas, respectivamente, por D_compra e D_venda e D^*_compra e D^*_venda:
    
    

• Exposição final – valor presente: valor presente para uma posição equivalente à carteira, obtida pelo conceito de hegde por modified duration. Sendo VP, D_dias e D^*_dias - respectivamente, o valor presente, duration e duration ajustada - relativos à posição principal e VP_oposta e D^*_dias,oposta - respectivamente, o valor presente e duration ajustada - relativos à posição oposta e onde VP e VP_oposta tem sinais contrários:
• Exposição final:
  
  

• Exposição final – valor de face: valor futuro da exposição final para a data do duration da carteira. Considerando P_D a taxa de juros anualizada (base 252) para o duration final, tem-se:
• VF:
  
  
  
• Convexidade: convexidade da carteira. Este valor deve ser utilizado para cálculos de variação no valor presente da carteira face a uma oscilação não tão pequena e paralela da curva de juros. No caso de posições opostas, a convexidade não é calculada e retorna 0:
• Convexidade:
  
  
  
• Modified Duration: duração modificada. Este valor também é utilizado para cálculos de variação no valor presente dada uma oscilação na curva de juros. No caso de posições opostas, retorna 0:
• Duração ajustada:
  

Exemplo de utilização com posições compradas:

Cálculo de duration para carteira composta por títulos pré-fixados e contratos futuros de juros. Todas as posições são compradas:

• Curva: A2:B11 (11 pontos em qualquer ordem)

• Carteira: células C2:D5. O intervalo representa 2 títulos comprados e uma posição comprada de 100 contratos de juros futuros DI1. Todos os valores são positivos (ou tem o mesmo sinal).

= {CC.DURATION( A2:B11; C2:D5)}

Resultados:

143

36.031.941,36

40.038.574,73

0,67595917

0,47240009

O retorno é matricial e podem ser retornadas de 1 a 5 células, sendo:

• 1ª célula => duração Macauley
• 2ª célula => exposição final ou valor presente equivalente
• 3ª célula => valor de face da exposição final para a duração
• 4ª célula => convexidade
• 5ª célula => modified duration

O valor da duration (arredondado) da carteira é de 143 dias e a carteira tem uma exposição final equivalente com valor presente de 36.031.941,36 e com valor de face de 40.038.574,73 para a data correspondente ao dia 143 da curva de juros. Em outras palavras, o risco da carteira para oscilações paralelas e pequenas da curva de juros é igual ao de uma única posição com valor de face de 40.038.574,73 para 143 dias. Para o caso de utilização de hedge, o valor de face da exposição final deve ser utilizado.

Vale observar que o valor presente da exposição final é diferente do valor presente dos títulos de 35.943.357,84 (não calculado). Isto porque a exposição final é uma posição de risco equivalente para oscilações pequenas (não considera convexidade) e paralelas na taxa de juros e não uma posição de valor presente equivalente.

Por exemplo, considerando uma oscilação de -0,1% na taxa anual, onde todas as taxas diminuem 0,1%, o valor presente da carteira passa para 35.960.349,64 (não calculado) representando um acréscimo de 16.991,80. Já o valor presente da exposição equivalente aumenta para 36.048.932,06 (40.038.574,73 a valor presente para uma taxa de juros com a oscilação para 143 dias) - um acréscimo de 16.990,70.

Mais uma vez, para realização de hedge por modified duration, o que interessa é o valor de face da exposição e a duration.

Considerando agora uma variação paralela da curva de juros de +1,0% na taxa anual, onde todas as taxas aumentam 1,0%, a variação do valor presente da carteira carteira pode ser simulada. Como esta oscilação não é uma oscilação pequena, a convexidade deve ser utilizada juntamente com a duration modificada. Calculando, então, para uma oscilação de +1,0%, temos uma variação percentual dada por:



Isto equivale a dizer que o valor presente da carteira de 35.943.357,84 (não calculado) terá uma queda de 0,046902% ou uma perda de 168.581,64.

Simulando uma oscilação na curva de juros, o valor presente para um upward shift de 1,0% passaria para 35.774.766,98 - uma perda de 168.590,65.

A diferença entre os dois valores pode ser desconsiderada e é atribuída ao tamanho da oscilação, uma vez que a série de Taylor utilizada é de segunda ordem (descartadas ordens superiores).

Finalizando, para pequenas oscilações, pode-se utilizar o conceito de hedge ou de alteração de valor por convexidade e modified duration. Para grandes oscilações, apenas o segundo conceito pode ser empregado, pois a utilização de convexidade em hedge é mais complexa. Em ambos os casos, porém, as oscilações da curva de juros devem ser paralelas.

Exemplo de utilização com posições compradas e vendidas - posições opostas:

Este exemplo utiliza a mesma curva de juros do exemplo anterior. Serão utilizadas posições compradas e vendidas para o portfolio e será calculado o duration, exposição total e valor de face pelo conceito de hedge. A convexidade e a duration modificada são retornadas nulas.

• Carteira: C2:D5. O intervalo representa 3 títulos comprados e uma posição vendida de 300 contratos de juros futuros DI1. Os valores comprados são positivos e o valor vendido em contrato futuro tem valor negativo.

= {CC.DURATION( A2:B11; C2:D5)}

Resultados:

O duration final é igual ao duration da compra (exemplo anterior) pois o valor presente multiplicado pela duração ajustada da posição comprada é superior à multiplicação equivalente da posição vendida. Em outras palavras, a venda dos contratos futuros na carteira reduziu o exposure (ver seção 2.2.7. Hedge por Modified Duration para Juros) da compra de 40.038.574,73 (valor de face da exposição total - exemplo anterior) para um valor de face de 28.678.162,28 com o mesmo duration de 143 dias.

Considerando uma oscilação de +0,1% na taxa anual, onde todas as taxas diminuem 0,1%, o valor presente da carteira cai de 6.975.601,22 (não calculado) para 6.963.449,05, representando uma perda de 12.152,18. Já o valor presente da exposição equivalente diminui para 25.796.203,80 (28.678.162,28 a valor presente para uma taxa de juros com a oscilação para 143 dias) – uma queda de 12.153,99.

Mais uma vez, com a utilização de posições contrárias, é possível obter dois resultados com o mesmo risco para oscilações pequenas e paralelas da curva de juros, sendo mais comum o cálculo do duration considerando a duração da posição principal constante e considerando a posição oposta uma redução na principal (efetuado pela função).

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