Manual e Ajuda para o add-in Metrixus - Funções Quantitativas para Mercado de Capitais

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Alisamento exponencial ou volatilidade exponencialmente ponderada ou EWV - Exponentially Weighted Volatility - é uma técnica de tratamento de dados históricos (série temporal) que busca valorizar as ocorrências mais recentes para o cálculo do desvio padrão (ou volatilidade para ativos financeiros). Esta técnica também é conhecida como EWMA – Exponentially Weighted Moving Average.

Quando se determina o desvio padrão de uma base de dados igualmente ponderada, todos os desvios ou erros (quadráticos) das observações em relação à média têm o mesmo peso. Utilizando o alisamento exponencial, os últimos (mais recentes) erros têm um peso maior que vai diminuindo à medida que caminhamos em direção aos dados mais antigos, sendo o peso ou coeficiente determinado pela seguinte regra:

• Coeficiente D₀ = (1 - )
• Coeficiente D_0-i = () * Coeficiente D_0-i+1, para qualquer i >0

onde D₀ é a última (mais recente) observação e é o fator de decaimento ou de ponderação exponencial escolhido.

O fator de decaimento é, portanto, o que determina o grau de relevância dos últimos (mais recentes) dados amostrados. Um fator muito grande dá um peso excessivo à observação (erro quadrático) final, amenizando os movimentos anteriores. Um fator muito pequeno terá o efeito contrário, fazendo com que os últimos (mais recentes) erros sejam menos relevantes.

A tabela a seguir exemplifica os coeficientes a serem aplicados aos erros das observações utilizando-se o fator de decaimento de 0,94 (comum para ativos financeiros):

Coeficiente	Observação	Erro2 Observado	Novo Erro2
1 - = 0,060	Última (D0)	A	0,060 *A
* 0,060 = 0,056	D-1	B	0,056 * B
* 0,056 = 0,053	D-2	C	0,053 * C
0,050	D-3	D	0,050 * D
0,047	D-4	E	0,047 * E
0,044	D-5	F	0,044 * F
0,041	D-6	G	0,041 * G
0,039	D-7	H	0,039 * H
0,037	D-8	I	0,037* I
0,034	D-9	J	0,034 * J
0,032	D-10	K	0,032 * K
0,030	D-11	L	0,030 * L
0,029	D-12	M	0,029 * M
0,027	D-13	N	0,027 * N

O fator de decaimento escolhido também é responsável pela tolerância ou nível de precisão nos resultados. Em função da participação decrescente dos dados (erros quadráticos) mais antigos, após um certo número de observações o coeficiente aplicado será tão pequeno que o valor dos erros pode ser desconsiderado.

Considerando um fator de decaimento , uma tolerância T e uma base de dados com média 0 tem-se:

onde k representa a posição no tempo a partir da qual os valores dos erros quadráticos são desprezados.

Em outras palavras, o somatório dos coeficientes desprezados equivale à tolerância nos resultados. A tabela abaixo exemplifica a relação entre o número de dados históricos utilizados no cálculo do EWV, conforme a tolerância e o fator de decaimento escolhidos:

Por exemplo, utilizando-se igual a 0,94 e uma tolerância de 1%, a partir da observação 74 os valores dos erros podem ser desprezados para o cálculo da EWV. Utilizando-se uma tolerância de 0,1%, os valores dos erros a partir da observação 112 podem ser desprezados.
Desta forma, nota-se que a escolha do fator de decaimento é crítica no processo de alisamento exponencial.

Para a determinação do fator de decaimento ótimo, pode ser utilizado o processo de minimização da variância dos erros de previsão para o passo seguinte, ou seja, o fator é escolhido de forma que a variância da previsão da variância para o instante seguinte (com base nos dados fornecidos) seja minimizada. Aqui vale ressaltar que deve ser escolhida uma tolerância para os cálculos do fator ótimo condizente com o tamanho da base de dados históricos, bem como o tamanho da base de dados deve ser suficientemente grande para permitir previsões e análise da variância destas previsões de acordo com a tolerância escolhida.

O EWV é muito utilizado em finanças para cálculos de VaR (Value at Risk) e volatilidades de retornos de ativos financeiros, sendo comum aplicar um operador logarítmico aos retornos antes dos cálculos. Ainda em aplicações financeiras, é usual utilizar a média dos retornos como sendo igual a 0, reduzindo algum possível viés na base de dados.

Acesso:

• Menu - Inserir | Função | Metrixus
• - Barra de ferramentas Padrão | Metrixus

Descrição: Retorna o desvio padrão amostral (ou volatilidade) e a média dos dados ou dos retornos das cotações obtidos pelo alisamento exponencial e, ainda, a tolerância, conforme os parâmetros informados. Permite a aplicação de operador logarítmico aos retornos, útil na análise de ativos financeiros.

O retorno da função é obtido pela forma matricial, sendo necessária, para obter todos os dados de saída, a seleção de três células na vertical e a utilização de CTRL + SHIFT + ENTER após a digitação da fórmula.

Chamada: MX.EWV (Dados, Decay, Ordem, Retornos, Media_Nula)

Nota 1: Resultados devem ser extraídos do Excel através da seleção da região para os resultados, colocação da fórmula com a área de saída selecionada e pressionando CTRL+SHIFT+ENTER.

Nota 2: O Microsoft Excel possui limitações quanto ao tamanho de dados passados para as funções externas e suas planilhas. Desaconselha-se a utilização de chamadas de funções externas com grande volume de dados a partir das planilhas do Excel. De uma forma genérica, o Microsoft Excel não suporta um número de dados maior do que 32.767 campos. Para maiores detalhes, consultar a Ajuda on-line ou suporte do Microsoft Excel.

Os resultados para um conjunto total de dados n (ou n–1 para o EWV do retorno das cotações), um fator de decaimento e onde o dado mais antigo tem índice n é:

• Desvio padrão ou volatilidade EWV: pode considerar os dados diretamente ou os retornos das cotações e ainda aplicar operador logarítmico aos retornos. Utiliza a ordem informada para ponderar as amostras. Se houver aplicação de operador logarítmico, este é revertido antes do retorno dos resultados. O desvio padrão é retornado na primeira célula.
  
  
  
Onde:

• Média: médias dos dados ou dos retornos, aplicando ou não o operador logarítmico e utilizando a ordem informada para ponderar as amostras. Se houver aplicação de operador logarítmico, este é revertido antes do retorno dos resultados. A média é retornada na segunda célula.
  
  
  
Onde:

• Tolerância: calculada para o total de dados n (ou n-1 para retornos de cotações) e para o fator de decaimento informado. A tolerância é retornada na terceira célula.
  

Exemplo de utilização com retorno de cotações:

• Intervalo de dados: A1:E30 (145 dias)
• Fator de decaimento 0,94
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro. O valor 15,73% é o dado mais antigo.
• Analisar retornos dos dados, utilizando operador logaritmo
• Utilizar média calculada
• Dados sobre taxas de juros de janeiro a julho de 2001. Os dados são próximos às taxas praticadas, mas devem ser entendidos como hipotéticos aqui. As últimas células do intervalo estão vazias e não são consideradas nos cálculos (de fato, são ignoradas).

= {MX.EWV( A1:E30; 0,94; 0; 1; 0)}

Resultados:

O retorno da função é matricial e podem ser retornadas 1, 2 ou 3 células, sendo a primeira correspondente à volatilidade dos retornos (utilizado o operador logaritmo para os cálculos e revertida a operação ao final), a segunda correspondente à média dos retornos (utilizado o operador logaritmo para os cálculos e revertida a operação ao final) e a terceira correspondente à tolerância.

• 1ª célula => Volatilidade dos retornos
• 2ª célula => Média dos retornos
• 3ª célula => Tolerância para o total de dados

As tabelas a seguir ilustram os cálculos intermediários efetuados.

Tabela de retornos logarítmicos com 144 dados.

Tabela contendo a contribuição de cada retorno (retorno logarítmico menos média, elevado ao quadrado e multiplicado pelo respectivo coeficiente de decaimento). Observar que os primeiros dados (mais antigos) tem uma participação muito pequena para o cômputo da variância. O somatório desta tabela corresponde à variância por alisamento exponencial. A raiz quadrada do somatório equivale ao desvio padrão ou volatilidade EWV.

Comparando o resultado do desvio padrão de 0,808% com o desvio padrão igualmente ponderado para o retorno logaritmo de 0,733% (não mostrado aqui), percebe-se o efeito do alisamento exponencial.

Acesso:

• Menu - Metrixus | Decay EWV ótimo
• - Barra de ferramentas Metrixus

Descrição: Determina o fator de decaimento ótimo para ser empregado no alisamento exponencial dos dados informados. Utiliza um processo de simulação por exaustão que visa minimizar os erros de previsão da variância (ou variância da variância) para o instante seguinte, indicando o melhor fator de decaimento com base nos dados históricos.
A opção Nível de tolerância mínimo determinará a quantidade de dados utilizados para a primeira previsão em cada simulação. Dada a tolerância mínima, se o tamanho da base de dados não for suficientemente grande para um determinado fator de decaimento, este fator não será simulado como possível fator ótimo. Por exemplo, para uma base com 200 dados e um nível de tolerância escolhido de 1%, só é possível simular fatores ótimos menores do que 0,97.

A opção Analisar retornos de cotações permite, assim como na função EWV, efetuar o alisamento exponencial dos retornos diretamente a partir das cotações.

A opção Utilizar retornos logarítmicos só é habilitada no caso de retornos de cotações e permite a aplicação do operador logarítmico aos retornos.

Também como a função EWV, é possível utilizar dados em ordem direta ou inversa. Utilize a opção Dados em ordem inversa (mais recentes primeiro) para indicar que os dados mais recentes aparecem primeiro e o dados mais antigos são os últimos valores informados.

A opção Utilizar média nula indica a utilização de média igual a 0 nos cálculos e simulações de volatilidade.

A região ou intervalo de dados deve ser uma região contígua com mais de 40 células. Campos com formato texto ou vazios são desconsiderados. O intervalo de dados deve ser selecionado antes de chamar este comando.

Este comando gera um novo arquivo contendo os resultados na forma de tabelas.
A geração de planilhas sem cores permite uma impressão fácil dos dados além de representar ganhos de performance de execução.

O resultado da análise de decaimento ótimo é uma nova planilha com dados estáticos, isto é, sem vínculos com a base dados que originou o resultado. Nesta nova planilha há as seguintes informações, onde n é o total de dados históricos válidos:

• Tolerância: repetição da tolerância mínima escolhida para as simulações. A tolerância mínima determina o fator de decaimento máximo utilizado nas simulações e determina a quantidade de dados históricos utilizados para a primeira previsão de cada simulação.
  
  
• Decay Máx.: fator de decaimento máximo utilizado nas simulações. Considerando T_min igual à tolerância mínima e considerando um número mínimo de 30 simulações, tem-se para um total m de dados (onde m é igual ao total n ou total n-1 para retornos):
  
  
  
  

• Decay Ótimo: fator de decaimento ótimo obtido pela minimização da variância do erro da previsão da variância para o instante seguinte, com precisão de 0,005. Considerando s²_j a variância exponencialmente ponderada por um fator de decaimento, tem-se:
  
  
  
  

• DPE Min.: desvio padrão mínimo do erro de previsão da variância exponencialmente ponderada pelo fator de decaimento ótimo.
  

Exemplo de utilização com juros:

Neste exemplo serão utilizados os mesmo dados do exemplo da função EWV.

• Intervalo de dados: A1:E30 (145 dias)
• Tolerância 0,5%
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro. O valor 15,73% é o dado mais antigo.
• Analisar retornos dos dados, utilizando operador logaritmo
• Utilizar média nula
• Dados sobre taxas de juros de janeiro a julho de 2001. Os dados são próximos às taxas praticadas, mas devem ser entendidos como hipotéticos aqui. As últimas células do intervalo estão vazias e não são consideradas nos cálculos (de fato, são ignoradas).

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro
Média nula para cálculos de variância
Resumo das opções de cálculo.

Pelos resultados, foram analisados 144 dados de retorno logaritmo (145 dados de cotações) e utilizado um decaimento máximo de 0,955 em função da tolerância de 0,5% escolhida. O decaimento ótimo calculado é 0,950 e equivale a um desvio padrão dos erros de previsão da variância de 2,78 x 10^-5.

Se a tolerância escolhida fosse de 0,1%, os resultados (não apresentados aqui) apontariam para um decaimento máximo de 0,945 (menor em função da tolerância menor) e um decaimento ótimo de 0,930.

Exemplo de utilização com ações:

Cálculo de alisamento ótimo para cotação de ação.

• Intervalo de dados B7:B209 (203 dias)
• Tolerância 0,5%
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro. A cotação 273,00 é o dado mais antigo.
• Analisar retornos dos dados, utilizando operador logaritmo
• Utilizar média calculada
• Os dados representam os preços de algumas ações negociadas em bolsa de valores – BOVESPA - e compreendem o período de outubro de 1997 até julho de 1998. Estes dados são próximos aos preços reais, mas devem ser considerados hipotéticos aqui.

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro
Média NÃO nula para cálculos de variância
Resumo das opções de cálculo.

Foram analisados 202 dados de retorno logaritmo (203 cotações) e utilizado um decaimento máximo de 0,965 em função da tolerância de 0,5% solicitada. O decaimento ótimo calculado é 0,960 e equivale a um desvio padrão dos erros de previsão da variância de 9,611 x 10^-5.

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