Manual e Ajuda para o add-in Metrixus - Funções Quantitativas para Mercado de Capitais

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Os modelos da família ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedastic – são modelos não lineares utilizados na determinação da volatilidade de séries temporais – principalmente financeiras - onde modelos lineares se provaram incompletos em função da incapacidade de explicar algumas características destas séries. Existem, no entanto, diversas extensões destes modelos.

O modelo ARCH propriamente dito, proposto por Engle, assume que, em uma regressão, a variância do erro se correlaciona com a variável independente (erro da regressão). Desta forma, a variância é dita condicional (não constante) e seu valor depende da observação do próprio erro. Ou seja, conditional heteroskedasticity.


Para o modelo ARCH e considerando a série temporal do erro da regressão e uma ordem q para o modelo, sendo t um instante no tempo, tem-se para a variância condicional do erro:


Onde:

• 
  
  
• 
  
  
• 

Assim, a variância condicional depende do quadrado dos erros da regressão segundo uma ordem q.

É possível provar que, no modelo ARCH acima, a variância condicional tem uma tendência para convergir para uma constante. Esta constante representa a variância não condicional que é dada por:



A restrição do somatório dos coeficientes ser menor do que 1 é para garantir que o modelo tenha covariância estacionária - valor esperado constante e finito da variância do erro (variância incondicional).


Devido à dificuldade para se estimar os coeficientes do modelo ARCH, resultado da recorrente necessidade de uma ordem q elevada, o modelo GARCH - Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic, originalmente proposto por Bollerslev, adiciona a dependência da variância em relação à variância passada.

Assim, para o GARCH tem-se:


onde p>0 é a ordem da dependência da variância com a variância passada, sendo os coeficientes .

Para que o modelo tenha covariância estacionária e, portanto, variância incondicional ou uma tendência de convergência, os coeficientes das ordens p e q devem satisfazer a seguinte condição:



Em função da precisão adotada, de arredondamentos matemáticos e de situações limítrofes nas restrições, pode-se obter um valor não real para a variância incondicional mesmo com a condição acima sendo respeitada.


O modelo IGARCH – Integrated GARCH – é idêntico ao modelo GARCH, porém não obedece à condição de covariância estacionária e utiliza:



Neste modelo, um choque na variância (ou na série temporal) em um instante no tempo influencia ou permanece importante por um período longo de previsões. Muitas séries financeiras apresentam esta característica.

É importante observar que se forem consideradas poucas previsões (horizonte curto), não haverá grande influência da condição de covariância não estacionária. No entanto, se o horizonte de previsões for muito longo, este modelo tenderá a uma variância condicional ilimitada (não estacionária)!


O modelo EGARCH – Exponential GARCH – explora o fato dos coeficientes das ordens p e q poderem ser negativos, eliminando essas restrições no modelo GARCH original, e também permite uma resposta assimétrica aos choques.

Para o EGARCH, tem-se:


Onde:

• 

Assim sendo, choques positivos ou negativos podem produzir resultados diferentes (assimétricos) conforme os coeficientes (the leverage effect ou correlação negativa entre retorno e volatilidade). Se o coeficiente for menor do que 0, há a correlação negativa.

Ainda para o EGARCH, choques recentes podem ter um impacto maior ou menor do que o GARCH – curva exponencial versus curva quadrática do modelo GARCH original. O gráfico a seguir exemplifica estas possibilidades.

Modelos EGARCH podem ser difíceis de convergir, dependendo do número de parâmetros a serem estimados.


O modelo GJR - Glosten, Jagannathan and Runkle – é outra variação assimétrica do modelo GARCH, cujo objetivo é, assim como o EGARCH, permitir a diferenciação entre impactos positivos e negativos da série temporal.

Para o GJR tem-se:


Onde:

• 
• 
• 
• 

No modelo GJR, se o coeficiente for maior do que 0, há a correlação negativa.

O modelo GJR e o modelo TGARCH – Threshold GARCH – são similares, sendo que o TGARCH se aplica ao desvio padrão condicional ao invés da variância condicional.

Há, ainda, vários outros modelos como, por exemplo, o PGARCH – Power GARCH, QGARCH – Quadratic GARCH, AGARCH – Asymmetric GARCH, etc.


Para estimar os coeficientes dos modelos da família ARCH, pode-se utilizar a maximização da função de probabilidade (verossimilhança) logarítmica LLF (log-likelihood function) através de algoritmos numéricos iterativos.

Esta função é, para uma série de tamanho T com distribuição normal dos erros da regressão (ou retornos) e considerando o conjunto de coeficientes do modelo, dada por:


onde f é a função de probabilidade (i=1) ou função de probabilidade conjunta (i>1) da distribuição normal:




Reescrevendo a LLF:



Esta função pode ser maximizada analiticamente ou numericamente.
Se a ordem de dependência em relação ao passado for maior do que o instante no tempo, pode-se assumir os valores em falta (observações anteriores ao início da série) como iguais aos valores de equilíbrio (variância inicial igual à variância incondicional) para modelos estacionários ou iguais à média dos quadrados da série para os modelos não estacionários ou assimétricos (variância inicial igual ao erro quadrático médio). O erro inicial é sempre igual à raiz quadrada da variância inicial.


Também é possível projetar a volatilidade (ou variância) para um período futuro. Por exemplo, para o modelo GARCH(1,1) pode-se deduzir a variância para d períodos à frente de um instante t:






Generalizando:




Em séries financeiras, é comum substituir o erro da regressão diretamente pelos retornos dos ativos. Ou seja, a variância condicional depende do quadrado dos retornos passados segundo a ordem q e depende da variância condicional passada segunda a ordem p. Ainda, os retornos (dados da série temporal) têm distribuição normal com variância igual a e média nula.

2.2.14.1. Comando Família ARCH

Acesso:

• Menu - Metrixus | Família ARCH
• - Barra de ferramentas Metrixus

Descrição: Retorna os coeficientes do modelo da família ARCH selecionado para a determinação da volatilidade condicional de uma série temporal (retornos ou erros da regressão), obtidos por algoritmos numéricos iterativos pelo método MLE – maximum likelihood estimation ou maximização da LLF, considerando uma distribuição normal com média nula para a série de dados.

Permite a configuração do modelo escolhido através da seleção das ordens (q e p) utilizadas nos modelos. O valor máximo para as ordens q e p é 7 (se houver dados suficientes).

Os coeficientes do modelo têm precisão máxima de 0,000001.
O máximo de iterações realizadas pelo algoritmo numérico para convergência do modelo escolhido é de 100.000 iterações.

Visando resolver o problema das condições limítrofes das restrições, bem como dos arredondamentos numéricos e da precisão dos cálculos nos modelos estacionários, será considerado não estacionário todo modelo que apresentar:



A opção Calcular melhor modelo da família ARCH (critério mínimo) - versão 1.0.5 em diante - permite encontrar o melhor modelo, ou seja, aquele que apresenta o menor valor da informação segundo o critério escolhido AIC - Akaike, AICc - Akaike corrigido ou BIC - Schwarz.
Todos os resultados dos 3 critérios são apresentados, porém o critério escolhido para a determinação do modelo será indicado pela sigla min após o nome do critério.

A opção de escolha do critério de informação para determinação do melhor modelo foi introduzida na versão 1.0.5. As versões anteriores buscavam apenas maximizar a LLF.

Ao selecionar esta opção, deve-se escolher também quais os membros da família ARCH que participarão do processo de escolha do melhor modelo. Pelo menos um membro deve ser escolhido. Também é necessário limitar as ordens máximas utilizadas por todos os modelos escolhidos.
Vale lembrar que, quanto mais alta as ordens q ou p escolhidas, maior será o tempo para a obtenção do melhor modelo. Ainda, quanto maior o número de modelos testados, maior será o tempo para determinação deste modelo ótimo. Por exemplo, se forem selecionados todos os membros da famíla ARCH e se forem selecionados os máximos valores de q e p disponíveis, o sistema pode demorar para obter uma resposta, pois precisará testar 5 modelos, cada um com até 48 (48 = 7x7-1) opções e tudo com uma precisão de 0,000001. E isto pode realmente demorar!

A opção Analisar retornos de cotações permite efetuar aos cálculos diretamente a partir das cotações de um ativo.

A opção Utilizar retornos logarítmicos só é habilitada no caso de retornos de cotações e permite a aplicação do operador logarítmico aos retornos. Esta operação não é revertida internamente!

É possível utilizar dados em ordem direta ou inversa. Utilize a opção Dados em ordem inversa (mais recentes primeiro) para indicar que os dados mais recentes aparecem primeiro e o dados mais antigos são os últimos valores informados.

Para exibir um gráfico contendo as volatilidades condicionais calculadas, selecione a opção Exibir gráfico de volatilidades condicionais.

A região ou intervalo de dados deve ser uma região contígua com mais de 2 células. Campos com formato texto ou vazios são desconsiderados. O intervalo de dados deve ser selecionado antes de chamar este comando.

Este comando gera um novo arquivo contendo os resultados na forma de tabelas e gráficos.
A geração de planilhas e gráficos sem cores permite uma impressão fácil dos dados além de representar ganhos de performance de execução.

O resultado depende do modelo escolhido, mas é sempre composto por uma nova planilha com dados estáticos - sem vínculos com a base dados que originou o resultado - contendo os coeficientes utilizados nos cálculos de volatilidade condicional. Nesta nova planilha há as seguintes informações, onde T é o total de dados históricos válidos da série temporal (igual a n ou n-1 se informadas as cotações):

• A0: coeficiente independente. Precisão máxima de 0,00001 para o algoritmo de iteração. Este valor é sempre maior do que 0 (mínimo igual a 0,00001), exceto para o EGARCH.
  
  
• A?: coeficientes para as ordens q ou dependência em relação ao quadrado dos erros (ou retornos) passados. Precisão máxima de 0,00001 no algoritmo de iteração. Estes coeficientes são sempre positivos (mínimo igual a 0,00001) nos modelos simétricos.
  
  
• L?: coeficientes para os modelos assimétricos (the leverage effect). Precisão máxima de 0,00001 no algoritmo de iteração. Para o GJR, respeita a restrição de soma positiva com os coeficientes . Não apresentado para os modelos simétricos.
  
  
• B?: coeficientes para as ordens p ou dependência em relação à variância do erro passada. Precisão máxima de 0,00001 no algoritmo de iteração. Estes coeficientes são sempre positivos (mínimo igual a 0,00001), exceto para o EGARCH.
  
  

• Indicadores: para cada coeficiente estimado, são apresentados os seguintes indicadores:
  
  
• LR: likelihood ratio. Valor estatístico para cada coeficiente a ser comparado (teste de hipótese) com a distribuição qui-quadrado para 1 grau de liberdade e nível de significância desejado.
  
  
• 


onde LLF_restrito é o valor da função logarítmica de probabilidade calculada com o coeficiente igual a 0 (não significante). Exceto no EGARCH, o coeficiente A0 tem o valor restrito calculado como igual a 1% da precisão (1E-07) a fim de respeitar a condição de A0 maior do que 0 (variância condicional sempre positiva). No caso do GJR, para respeitar a condição de variância positiva, se os coeficientes forem menores do que 0, os testes para os coeficientes serão duplos, isto é, calculados para os coeficientes e os respectivos iguais a 0.


• p(qui-2): probabilidade de significância para os coeficientes. Utiliza a função da distribuição qui-quadrado do Microsoft Excel para retornar os valores de probabilidade de significância.

• Vol. Atual: volatilidade condicional atual. É o valor da volatilidade ou desvio padrão para o instante t atual (último ponto no tempo). No caso da utilização de cotações com aplicação do operador logarítmico, o valor da volatilidade condicional atual reverte a operação internamente. Ou seja, o valor da volatilidade informada é o valor do desvio padrão a ser utilizado para os retornos do ativo.
  
  
• Volatilidade atual:
  

• Vol. Inc.: volatilidade incondicional. É o valor do desvio padrão de convergência (ou estacionário). No caso da utilização de cotações com aplicação do operador logarítmico, o valor da volatilidade incondicional reverte a operação internamente. Ou seja, o valor da volatilidade incondicional informada é o valor do desvio padrão de convergência para os retornos do ativo. Não apresentada para modelos não estacionários ou modelos assimétricos.
  
  
• Volatilidade incondicional:
  

• LLF máx.: valor máximo da função logarítmica de probabilidade. É o resultado obtido pelo processo de MLE – maximum likelihood estimation. Assume valores em falta como iguais aos valores de equilíbrio (variância incondicional) para modelos estacionários ou iguais à média dos quadrados da série para modelos não estacionários ou assimétricos.
  
  
• Valores em falta: :
  
• AIC: critério de Akaike (versão 1.0.5)
• AIC:
• AICc: critéiro de Akaike corrigido (versão 1.0.5)
• AICc:
• BIC: Critério Bayesiano de Schwarz (versão 1.0.5)
• BIC:

onde k = p + q + l +1 (ordens de dependência), LLF é o valor da verossimilhança logarítmica e N é o tamanho da amostra.



• Gráfico: gráfico de evolução da volatilidade condicional. Depende da opção de exibir ou não gráfico de volatilidades. São apresentados no máximo 250 pontos (últimos pontos), sendo que para modelos estacionários aproximadamente 7% dos pontos (últimos pontos) são referentes à volatilidade futura projetada. Para modelos estacionários também é apresentada a linha de volatilidade incondicional (valor de convergência). Se os cálculos efetuados forem resultado da aplicação de retornos logarítmicos a cotações, todas as volatilidades apresentadas já inverterão a operação. Os retornos históricos também são apresentados.

Base de dados para exemplos:

Todos os exemplos a seguir utilizam a mesma base de dados, representada pela cotação do PTAX de venda para o período de 01/08/00 a 31/07/01. Estes dados, embora próximos dos verificados, devem ser considerados hipotéticos aqui.

O gráfico a seguir representa a distribuição dos retornos logarítmicos no tempo.



Em todos os exemplos a seguir será utilizado o retorno logarítmico como substituto para o erro da regressão. Alternativamente, poderia ter sido calculada uma regressão e determinado um erro para cada ponto no tempo (ao invés do próprio retorno), sendo a volatilidade condicional calculada sobre este erro.

Exemplo de utilização ARCH(1):

Cálculo da variância condicional para o modelo ARCH(1).

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 1
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro. A cotação 1,788 é o dado mais antigo.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

Foram analisados 249 retornos (250 cotações) e estimados 2 parâmetros para o modelo ARCH(1). Os dois parâmetros se mostraram significantes a 95% pelo teste LR (likelihood ratio).

O valor da volatilidade atual é de 0,721% (já revertida a operação logarítmica). A volatilidade incondicional é de 0,922% (também já revertida a operação logarítmica).

A equação do modelo fica:



O gráfico abaixo representa o histórico de retornos (revertida a operação logarítmica) e das volatilidades utilizando-se o modelo ARCH(1). Como este modelo é estacionário, aproximadamente 7% dos dados dizem respeito à projeção da volatilidade futura. Percebe-se, por esta projeção, a tendência em direção à volatilidade incondicional.


O gráfico a seguir representa o resultado de um modelo ARCH(3). Percebe-se uma maior aderência da volatilidade para uma ordem de dependência (q) maior. Esta, no entanto, é uma das dificuldades do modelo ARCH, ou seja, a necessidade de uma ordem elevada.

Exemplo de utilização GARCH(1,1):

Cálculo da variância condicional para o modelo GARCH(1,1). Este modelo é bastante utilizado em séries financeiras.

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 1
• Ordem p (variância passada) 1
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

Todos os parâmetros analisados apresentaram significância a 95% pelo teste LR. O modelo também apresentou uma volatilidade incondicional igual a 1,003%. O valor da volatilidade atual é de 1,370%.

A equação do modelo é:



Graficamente:


Mais uma vez, verifica-se a convergência da volatilidade condicional em direção à incondicional. Também é fácil verificar a aderência (dependência) da volatilidade condicional.

Exemplo de utilização GARCH(2,3):

Cálculo da variância condicional para o modelo GARCH(2,3). Este modelo apresenta uma dependência de terceira ordem em relação à variância passada e de segunda ordem em relação aos erros quadráticos passados.

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 2
• Ordem p (variância passada) 3
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

O modelo GARCH(2,3) apresenta a mesma volatilidade incondicional que o modelo GARCH(1,1), indicando um modelo robusto (GARCH).

Pelo teste de significância, pode-se dizer que a terceira ordem de dependência não é significativa pois a probabilidade de significância é de 12,4% apenas (100% - 87,6%).

A equação do modelo é, já desconsiderando ordens insignificantes:

Exemplo de utilização IGARCH(1,1):

Cálculo da variância condicional para o modelo IGARCH(1,1). Este modelo é não-estacionário e, portanto, não possui volatilidade incondicional definida.

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 1
• Ordem p (variância passada) 1
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

Como o modelo IGARCH é não estacionário, choques na variância tendem a permanecer por um período maior.

O valor da volatilidade condicional atual é de 1,414% e não há uma valor determinado para a volatilidade incondicional.

A equação do modelo é:



O gráfico a seguir apresenta o modelo IGARCH. Como este modelo é não-estacionário, não há convergência da volatilidade condicional e, portanto, não é apresentada a sua projeção.

Exemplo de utilização EGARCH(1,1):

Cálculo da variância condicional para o modelo EGARCH(1,1). Este modelo é assimétrico e não possui restrições para os parâmetros estimados.

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 1
• Ordem p (variância passada) 1
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

Todos os parâmetros do modelo EGARCH estimado são significantes a 95% pelo teste LR. Como se nota pelos parâmetros estimados, este modelo não possui restrições de valores negativos.

O valor positivo do parâmetro L1 indica a não existência de correlação negativa entre volatilidade e retorno.

A volatilidade condicional atual é de 1,285%. Não é calculada a volatilidade incondicional pois o modelo é assimétrico.

A equação do modelo é:





Gráfico da volatilidade condicional e retornos com operação logarítmica revertida. Nota-se a aderência da volatilidade.

Exemplo de utilização EGARCH(2,2):

Cálculo da variância condicional para o modelo EGARCH(2,2).

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 2
• Ordem p (variância passada) 2
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional
• Exibir resultados sem cores

Resultados:

Este modelo não convergiu, de forma que os resultados apresentados são os últimos números do processo de iteração.

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

O primeiro parâmetro L1 não é significativo a 95% (probabilidade de significância de 7,3% =100% - 92,7%).

A volatilidade condicional atual é de 1,253%.

A equação do modelo é, desconsiderando o parâmetro não significante:



Embora este modelo não tenha convergido, percebe-se pelo gráfico a aderência da volatilidade condicional aos retornos.

Exemplo de utilização GJR(1,1):

Cálculo da variância condicional para o modelo GJR(1,1). Este modelo é assimétrico e permite diferenciar choques positivos e negativos.

• Dados: célula A2:J51
• Ordem q (erros passados) 1
• Ordem p (variância passada) 1
• Ordem antiguidade, com dias mais antigos primeiro.
• Utilizar retorno logarítmico para cotações
• Exibir gráfico de volatilidade condicional

Resultados:

Utilizados os retornos logarítmicos dos dados
Ordem por antiguidade - dados mais antigos primeiro

A partir da versão 1.0.5, os critérios de informação também são informados no resultado!

Todos os parâmetros são significantes a 95%. A volatilidade condicional atual é de 1,189%. Como o modelo é assimétrico, a volatilidade incondicional não é calculada.

O valor negativo do parâmetro L1 indica a não existência de correlação negativa entre volatilidade e retorno.

A equação do modelo é:



Graficamente:

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