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Algumas distribuições lidam com valores extremos. É o caso, por exemplo, de alguns seguros, grandes catástrofes, altas temperaturas e de algumas perdas financeiras (risco operacional). Neste casos, a maioria das distribuições mais conhecidas têm um poder de explicação baixo. Para tratar estes casos, tem-se a teoria Extreme Value Distribuions.
Esta teoria, também conhecida como teoria dos três tipos, estabelece que existem apenas três tipos de modelos para se determinar máximos e mínimos de variáveis aleatórias: Gumbel, Fréchet e Weibull.
A distribuição de Gumbel, ou Extreme Value Type I, é definida (função de densidade) por:
onde z é o normalizador padrão e σ o parâmetro de escala.
A distribuição de Fréchet, ou Extreme Value Type II, é definida por:
onde α e β são, respectivamente, coeficientes de forma e escala, dado que α > 0 e β > 0.
A distribuição de Weibull, ou Extreme Value Type III, é definida por:
onde α e β são, respectivamente, coeficientes de forma e escala, dado que α > 0 e β > 0.
A distribuição de Weibull pode, ainda, ser generalizada para:
onde o terceiro coeficiente γ pode assumir qualquer valor real, desde x > γ.Os três tipos deram origem ao modelo geral ou Generalized Extreme Value que combina todos em uma só função:
onde z é o normalizador padrão e σ o parâmetro de escala, sendo k o parâmetro de forma que representa o diferenciador para os extremos da distribuição.
Através da técnica de maximização de verossimilhança (MLE – Maximum Likelihood Estimation), consegue-se determinar os parâmetros da distribuição através de iteração numérica por NewTon-Raphson, sem a possibilidade de representação via fórmulas.
O modelo de distribuição GEV é um dos modelos de severidade dentro do Sistema.
