Uma prática comum na modelagem financeira é escalar a volatilidade pela raiz quadrada do tempo, a fim de ajustar a medida de risco para o período desejado. Como muitas outras coisas do dia a dia, apenas assumimos como uma verdade e usamos sem questionar.
Neste tópico será demonstrada a origem desse método e por que o utilizamos.
Para isso, começaremos por um conceito básico,os retornos logarítmicos.
Os retornos logarítmicos (log-returns no inglês) compreende uma das formas de se medir o retorno dos ativos em um período de tempo. O seu uso nas finanças é disseminado devido às suas propriedades matemáticas convenientes, que facilitam a modelagem estatística. Podemos definir os retornos logarítmicos formalmente partindo de um preço pt no tempo t, cujo retorno (rt) em t+1 é dado por:
Essa definição nos garante uma propriedade muito importante, a aditividade dos retornos no tempo. Isto é diferente dos retornos simples, que são definidos como:
Já os retornos logarítmicos, estes podem ser somados para obter o retorno total ao longo de múltiplos períodos. Isto é, se possuímos um conjunto de retornos diários R={r1, r2,r3, …, rn}, o retorno total ao longo do período será:
Isso decorre da equação a seguir.
Com aplicação da propriedade dos logaritmos, pode-se reescrever a equação equivalente abaixo.
Podemos simplificar essa expressão anulando os termos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador, chegando em:
Dessa forma, o retorno total do período é obtido pela soma dos retornos individuais. Essa propriedade simplifica a análise do desempenho de ativos financeiros ao longo do tempo, tornando cálculos de retorno acumulado, modelagem estatística e precificação de derivativos mais práticos e consistentes.
Revisados os retornos logarítmicos e suas propriedades, agora precisamos de mais um insumo para compreender esse conceito, a variância. Para chegarmos na variância precisamos começar por um conceito um pouco mais abstrato e indigesto, o Movimento Browniano Geométrico. Para isso modelamos o preço (pt) do ativo como um MBG:
Em que:
- μ é a taxa de retorno esperada;
- σ é a volatilidade do ativo; e
- dwt é um processo estocástico de Wiener.
Podemos chegar no retorno logarítmico dessa equação através do Lema de Itō, obtendo a dinâmica dos retornos como:
Fazendo a solução fechada da equação diferencial para ln(pt), assumindo o preço inicial pt-1, chega-se em:
Ou seja, a soma do retorno logarítmico acumulado ao longo do período é igual a soma do termo determinístico ((μ-1/2σ2)t),representando a tendência média dos retornos, com o termo estocástico (σwt), que captura a variabilidade do ativo. Agora podemos partir para a variância.
O último passo para entendermos nosso problema inicial é chegar na variância propriamente dita. Sabe-se que, por definição, temos Var(dwt)=dt. Portanto, a variância de um retorno rt será:
Dado que a variância de uma constante é zero e a variância do termo estocástico é σ²dt, tem-se:
Se estamos considerando retornos diários discretos (dt=1),então:
Ou seja, cada retorno logarítmico individual tem variância σ².
Finalmente, generalizamos isso para múltiplos retornos logarítmicos diários r1, r2,r3, …, rt, onda a soma total dos retornos seria R=r1+r2+r3+…+ rt . Como os retornos são independentes,partindo de um modelo de passeio aleatório, podemos somar também as variâncias:
Como Var(rt)=σ²,então:
E,finalmente, dado que a volatilidade é a raiz quadrada da variância, chega-se a regra do tempo:
Tem-se aí, o conhecido ajuste pela raiz quadrada do tempo!
Obtivemos a volatilidade diária multiplicando a volatilidade anual pela raiz quadrada do tempo porque as volatilidades diárias são aditivas. Isso é possível porque os retornos logarítmicos também são aditivos e podemos modelá-los como um movimento geométrico browniano, obtendo a variância a partir do processo estocástico.
