Comprovação da regra da raiz do tempo para extrapolação de volatilidades.
Uma prática comum na modelagem financeira é escalar a volatilidade pela raiz quadrada do tempo, a fim de ajustar a medida de risco para o período desejado. Como muitas outras coisas do dia a dia, apenas assumimos como uma verdade e usamos sem questionar.
Neste tópico será demonstrada a origem desse método e por que o utilizamos.
Para isso, começaremos por um conceito básico,os retornos logarítmicos.
Os retornos logarítmicos (log-returns no inglês) compreende uma das formas de se medir o retorno dos ativos em um período de tempo. O seu uso nas finanças é disseminado devido às suas propriedades matemáticas convenientes, que facilitam a modelagem estatística. Podemos definir os retornos logarítmicos formalmente partindo de um preço pt no tempo t, cujo retorno (rt) em t+1 é dado por:
Essa definição nos garante uma propriedade muito importante, a aditividade dos retornos no tempo. Isto é diferente dos retornos simples, que são definidos como:
Já os retornos logarítmicos, estes podem ser somados para obter o retorno total ao longo de múltiplos períodos. Isto é, se possuímos um conjunto de retornos diários R={r1, r2,r3, …, rn}, o retorno total ao longo do período será:
Isso decorre da equação a seguir.
Com aplicação da propriedade dos logaritmos, pode-se reescrever a equação equivalente abaixo.
Podemos simplificar essa expressão anulando os termos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador, chegando em:
Dessa forma, o retorno total do período é obtido pela soma dos retornos individuais. Essa propriedade simplifica a análise do desempenho de ativos financeiros ao longo do tempo, tornando cálculos de retorno acumulado, modelagem estatística e precificação de derivativos mais práticos e consistentes.
Revisados os retornos logarítmicos e suas propriedades, agora precisamos de mais um insumo para compreender esse conceito, a variância. Para chegarmos na variância precisamos começar por um conceito um pouco mais abstrato e indigesto, o Movimento Browniano Geométrico. Para isso modelamos o preço (pt) do ativo como um MBG:
Em que:
- μ é a taxa de retorno esperada;
- σ é a volatilidade do ativo; e
- dwt é um processo estocástico de Wiener.
Podemos chegar no retorno logarítmico dessa equação através do Lema de Itō, obtendo a dinâmica dos retornos como:
Fazendo a solução fechada da equação diferencial para ln(pt), assumindo o preço inicial pt-1, chega-se em:
Ou seja, a soma do retorno logarítmico acumulado ao longo do período é igual a soma do termo determinístico ((μ-1/2σ2)t),representando a tendência média dos retornos, com o termo estocástico (σwt), que captura a variabilidade do ativo. Agora podemos partir para a variância.
O último passo para entendermos nosso problema inicial é chegar na variância propriamente dita. Sabe-se que, por definição, temos Var(dwt)=dt. Portanto, a variância de um retorno rt será:
Dado que a variância de uma constante é zero e a variância do termo estocástico é σ²dt, tem-se:
Se estamos considerando retornos diários discretos (dt=1),então:
Ou seja, cada retorno logarítmico individual tem variância σ².
Finalmente, generalizamos isso para múltiplos retornos logarítmicos diários r1, r2,r3, …, rt, onda a soma total dos retornos seria R=r1+r2+r3+…+ rt . Como os retornos são independentes,partindo de um modelo de passeio aleatório, podemos somar também as variâncias:
Como Var(rt)=σ²,então:
E,finalmente, dado que a volatilidade é a raiz quadrada da variância, chega-se a regra do tempo:
Tem-se aí, o conhecido ajuste pela raiz quadrada do tempo!
Obtivemos a volatilidade diária multiplicando a volatilidade anual pela raiz quadrada do tempo porque as volatilidades diárias são aditivas. Isso é possível porque os retornos logarítmicos também são aditivos e podemos modelá-los como um movimento geométrico browniano, obtendo a variância a partir do processo estocástico.
Uma visão prática de avaliação de cadeias de governança;
Muito se fala sobre o Banco Master e sua recente troca de controle, com muitas menções sobre a tipificação de ativos da carteira deste banco. No entanto, pouco se fala de governança ou o "G" do ESG.
E governança também pode ser interessante e vamos ilustrar isso com o case do Banco Master.
À primeira vista, numa avaliação rasa, a estrutura de governança é relativamente simples e pode ser decomposta nos grupos a seguir.
Um pequeno ponto de atenção seria que todos os relacionamentos societários possuem representação (“R” em preto no grafo) e no caso da participação compartilhada (#4), ao invés do Banco, apessoa física é que representa os sócios para a sequência societária (#5).
Do ponto de vista de governança, há ainda mais pessoas envolvidas nas sociedades, como administradores, diretores etc. E estes vínculos, podem ainda se envolver em outros negócios.
Aprofundando a análise para pegar detalhes de todos os relacionamentos societários, a avaliação muda um pouco de figura.
O grafo acima não exauriu todas as possibilidades, pois ainda restam muitos nodos a serem explorados (pontos em verde ainda podem ser explorados), mas já dá uma boa noção da complexidade de avaliação de governança.
As avaliações acima são bastante distintas e mostram um exemplo real de que cadeias de Governança podem ser avaliadas com “G” maiúsculo.
Você decide como quer fazer!
As imagens apresentadas foram obtidas na ferramenta Navegador Societário do EcoRisk ESG disponível em https://ecorisk.com.br com assinatura do tipo BÁSICO.
Disclaimer: a visão presentada tem o mero objetivo de exemplificar a complexidade do processo de avaliação de governança corporativa e suas cadeias e não tem nenhuma pretensão sobre avaliação do Banco Master propriamente dito.
A precificação de operações com pagamentos de fluxos financeiros em datas futuras faz parte do cotidiano do mercado, mas este tipo de cálculo requer o conhecimento da taxa da juros apropriada para cada vencimento. Cada taxa, de cada vencimento, é obtida através das suas (no plural mesmo) respectivas curvas observadas no mercado.
Estas curvas de mercado são construídas, normalmente, a partir de vértices, que são os pontos no tempo para os quais temos informações sobre o valor da taxa de juros, nos dando uma estrutura da taxa ao longo do tempo. Esta é a estrutura a termo da taxa de juros.
Uma boa fonte para se obter esses pontos são os contratos de instrumentos financeiros negociados pelos grande operadores, que atuam no mercado em operações especulativas ou de hedge. Tais contratos geralmente apresentam alto grau de liquidez, baixo risco de crédito e, principalmente, refletem o consenso do mercado para aquela data de vencimento.
O problema desta abordagem esta no número limitado de horizontes temporais que esses contratos derivativos, de modo que não possuímos a informação da taxa para as datas entre os vértices. É aí que entra a interpolação, permitindo estimar o valor da taxa de juros entre dois pontos para os quais já temos a informação.
Assim, a interpolação liga os pontos da curva, permitindo que tenhamos uma informação contínua, desse modo sendo possível "caminhar" por toda a extensão temporal. Existe um leque de opções de interpolação, que devem ser escolhidas levando em consideração o tipo de função que estamos tentando interpolar. Possuímos interpolações para funções lineares, trigonométricas, polinomiais, bilineares, curvas spline, dentre outras. Porém, quando estamos tratando de taxas de juros, estamos tratando de funções exponenciais, para isso usamos a interpolação exponencial.
Para construirmos a função de interpolação exponencial, partiremos de uma função exponencial de capitalização contínua. A capitalização contínua pode ser compreendida tomando como base a capitalização discreta, comumente abordada nas aulas de matemática financeira. A capitalização discreta nos dá o valor futuro (v), partindo de um principal (p), capitalizado por uma taxa r em n períodos de t anos, assumindo a forma:
v = p(1 + r/n)^(nt)
O nome é "capitalização discreta" pois é capitalizada em intervalos discretos n ao longo dos anos. A medida que n aumenta, isto é, o principal é capitalizado em um maior número de intervalos, com o montante cresce mais rapidamente.
Quando falamos em capitalização contínua, estamos tratando n como uma variável que tende ao infinito, de modo que o acréscimo do juros ao capital seja instantâneo, logo, para o valor futuro sobre uma taxa de capitalização contínua será dada por:
v = p lim(n→∞)(1 + r/n)^(nt)
Aplicando o limite fundamental exponencial, dado por:
lim(x→∞)(1 + 1/x)^x = e
Por fim, obtendo a função de capitalização contínua definida como:
v = p·e^(rt)
Com uma função de ponto de partida e conhecidos os valores da taxa nos vértices, podemos partir para a construção da função de interpolação. Para isso, vamos supor dois vértices, (x₁,y₁) e (x₂,y₂), para os quais queremos descobrir a taxa y para um valor intermediário x, dado por uma função y(x) que varia a partir de uma taxa de capitalização contínua.
Se queremos encontrar a taxa y no período de tempo x, partimos da função de capitalização contínua, onde a taxa anterior y₁ será o nosso "principal" (que pode ser entendido como o ponto de partida), capitalizada por uma constante k que será a taxa que define a velocidade com que y₁ varia em um período de tempo t=x-x₁. Matematicamente falando, obtemos:
y(x) = y₁·e^(k(x-x₁))
Essa função descreve uma variação exponencial de y(x) à medida que x varia, assumindo que a taxa de variação relativa é constante. Onde k define a velocidade do crescimento ou decaimento, com o fator e^(k(x-x₁)) ajustando o valor de y(x) conforme x varia entre x₁ e x₂.
Essa é a forma geral para modelar qualquer processo onde a taxa de mudança é proporcional ao valor atual da variável, uma característica típica de fenômenos que seguem um padrão de variação exponencial. Na interpolação exponencial, ela nos permite descrever transições suaves entre dois pontos de dados quando a variação segue uma curva exponencial.
Para descobrirmos o valor de y no ponto x precisamos descobrir o valor de k. Para isso, podemos partir de uma condição que sabemos ser verdadeira, y(x) dever ser igual a y₂ no ponto x₂, ou em termos:
y₂ = y₁·e^(k(x₂-x₁))
Para isolar k, dividimos a expressão por y₁ e aplicamos o logaritmo natural, resultando em:
ln(y₂/y₁) = k(x₂-x₁)
Finalmente, resolvemos para k:
k = ln(y₂/y₁)/(x₂-x₁)
Agora, para chegarmos até y(x), substituímos k na equação original, obtendo:
y(x) = y₁·e^((ln(y₂/y₁))/(x₂-x₁)(x-x₁))
Simplificando:
y(x) = y₁·e^(ln(y₂/y₁)·(x-x₁)/(x₂-x₁))
E aplicando a propriedade dos logaritmos (e^ln(a)=a) chegamos na equação final:
y(x) = y₁·(y₂/y₁)^((x-x₁)/(x₂-x₁))
A equação acima é a Função de Interpolação Exponencial, nela y(x) é interpolado na forma exponencial entre os vértices conhecidos, y₁ e y₂, com o expoente ajustando a proporção da variação entre x₁ e x₂, determinando quanto x se aproxima de x₁ ou x₂. Assim, a interpolação exponencial assume uma transição suave e contínua entre os dois valores conhecidos, permitindo que tenhamos uma estimativa da taxa de juros para qualquer prazo de vencimento.
Os sistemas de risco de mercado da Élin Duxus utilizam interpolação exponencial para precificação de fluxos financeiros.
Em nossa última publicação sobre o COPOM (https://blog.duxus.com.br/2024/09/11/copom-no-horizonte-visao-de-06-set-24/) destacamos o comportamento das apostas para o COPOM de setembro, levando em consideração os impactos da divulgação do IPCA no dia 10/09. As apostas estavam certas e o Banco Central optou por aumentar a SELIC em 25 bps. Restam duas reuniões até o final de 2024, sendo necessário estudar as apostas do mercado, utilizando a curva pré-fixada do dia 30/09 desenhamos as expectativas para a SELIC.
Taxa SELIC atual: 10,75% a.a
Decisão de Novembro/24:
Decisão de Dezembro/24:
Decisão de Janeiro/25:
Segundo dados divulgados nesta segunda-feira (30) pelo Relatório Focus do Banco Central as projeções para a SELIC em 2024 subiram. O boletim aponta para uma SELIC de 11,75% a.a. O mercado, porém, tem precificado a SELIC com maior aceleração. Ao analisar as expectativas para as próximas reuniões, é possível notar que o mercado tem apostado em aumentos para a Selic parecidos com o que vemos no Relatório Focus, com exceção da última reunião do COPOM no ano, onde nosso modelo aponta para apostas de 75bps, diferente dos 50bps amplamente atribuídos a última reunião do ano. Dessa forma, há uma certa divergência acerca da Selic ao final do ano, onde as apostas se concentram entre 11,75% a.a ou 12,00% a.a.
O destaque, porém, se dá a partir de janeiro, quando as apostas do mercado começam a descolar mais do pace atual das subidas de juros. Com base nos resultados coletados por meio do nosso modelo, é possível notar preços mais esticados com uma SELIC em Janeiro de aproximadamente no mínimo 12,75% a.a - levando em consideração os aumentos anteriores -, em um cenário de apostas do mercado divididas entre aumentos de 100bps e 125bps.
Estamos nos aproximando da próxima reunião do COPOM e as incertezas quanto ao cenário econômico nos obrigam a ficar de olho no que está por vir nos próximos dias. Com base nas curvas de fechamento dos dias 09/09 e 10/09, é possível observar o comportamento das apostas levando em consideração os novos dados divulgados do IPCA no dia 10/09. Abaixo, elaboramos uma análise acerca das expectativas do mercado:
Taxa SELIC atual: 10,50% a.a.
Expectativa do mercado para a SELIC no dia 09/09:
Expectativa do mercado para a SELIC no dia 10/09:
Não é de se surpreender que o mercado esteja esperando uma alta na SELIC. As sinalizações do Banco Central, as falas atuais do presidente da autarquia e os dados recentes apontaram para uma inversão do movimento da SELIC, que, até então, vinha por um processo de queda. Com o mercado apostando numa subida dos juros, voltaríamos a um patamar de taxa de 10,75% a.a, mesmo cenário de março, onde estávamos passando por um processo diferente do atual.
No gráfico, temos as expectativas do mercado em relação a Selic para dois dias recentes. No dia 09/09 o mercado ainda estava digerindo o boletim FOCUS, divulgado na manhã do mesmo dia, onde os principais players do mercado especulavam um IPCA ao final do ano em 4,30%. No dia seguinte, com a divulgação do IPCA mostrando deflação de 0,02% - primeiro movimento de inflação negativa no ano - o mercado alterou suas expectativas em relação a Selic. No primeiro dia, obtivemos uma análise das expectativas do mercado apontando para 80% apostando numa alta de 0,25 e 20% do mercado acreditando numa alta de 0,5, após esses dados o mercado diminuiu as apostas para o aumento de 0,5 para 15%. A diminuição da inflação é um indicador de menos pressão para o Banco Central que terá uma margem maior para conseguir adequar as metas, e, por sua vez, passar por um processo mais gradual no aumento das taxas de juros e o mercado souber ler isso bem.
De qualquer forma, podemos afirmar que o cenário não é ideal, afinal, mercado em dúvida é sinalização de um ambiente ruim. E como podemos ver, as apostas não estão consolidadas e há incertezas que ficam ainda maiores no decorrer das próximas reuniões do COPOM. Por hora, resta esperar qual será a decisão em relação a Selic que ocorrerá no dia 18/09.
Avaliando o controle de gestão de capital exclusivamente dos conglomerados prudenciais representativos de IP's (ou instituições de pagamentos) e tomando como data-base o mês de set/2023, último divulgado, 35,7% das IP's apresentam índice de Basileia inferior a 10,5% (limite aproximado para instituições financeiras).
Este percentual, além de muito grande, independe do tamanho da IP.
"Houston, we have a problem"
